Josephus Nasıl Düşündü?

Bir kral ele geçen esirlere şu şekilde bir öneri sunmuştur. “Daire şeklinde dizilin. İçinizden rastgele birine bir kılıç vereceğim. Bu birinci olsun. Kılıcı verdiğim hemen solundakini öldürecek ve kılıcı ölen esirin solundakine yani üçüncüye verecek. Kılıcı alan solundakini öldürüp kılıcı öldürdüğünün yanındakine verecek. Bu şekilde 1 kişi kalana kadar devam edecek. Son kalan esiri serbest bırakacağım.” Buna göre toplam 1000 esir varsa kaçıncı kurtulacaktır?

Çözüm şu şekilde : Eğer esir sayısı 2 nin bir üssü olursa daima kralın kılıcı ilk verdiği esir kurtulacaktır. Örneğin 64 esir olsun. İlk önce ((64)/2)=32 kişi ölecek kılıç tekrar birinciye gelecektir. ((32)/2)=16 kişi ölecek sıra tekrar birinciye gelecek. En son kılıç birincinin eline gelecek ve iki kişi kalacaklar. Yani birinci kurtulacak. Genel olarak n kişi varsa n den en yakın 2 nin kuvvetini çıkarıyoruz. Kalan k ise bu durumda 2k+1 numaralı kişi kurtulur. Örnek olarak 1000 kişi için çözüm yaparsak: 1000 den en yakın 2 nin kuvvetini atalım 1000-2⁹=488 olduğundan 2×488+1= 977 numaralı esir kurtulacaktır. Çözümün neden bu olduğunu okuyucuya bırakıyorum kasten. Asıl sormak istediğim problemi soramam yoksa.

Gelelim asıl mevzuya. Milattan sonra 66-73 yılları arasında Roma imparatoru Neron öldürülmüş ve Roma imparatorluğu bir iç savaş yaşamaktaydı. Neron zamanında Roma yı mamur etmek için başlatılan seferberlik Roma yı adeta bir inşaat alanına çevirmekle kalmamış bunun altından kalkabilmek için vergiler olabildiğinde artırılmıştı. Günümüzde İsrail olarak bilinen Judea’nın Romalı valisinin vergileri artırmasını bahane eden yahudiler iç savaşı da fırsat bilip isyan ettiler. Judea topraklarındaki tüm Romalılar Kudüs dışına çıkarılmış isyan durdurulamaz bir hal almıştı. Bundan 6 ay sonra, 30 bin Roma askeri isyanı bastırmak için gönderildi. M.S. 66 yılının kışında, Yahudi direnişçiler Beyt Horon da 30 bin askerden 6 bin kadarını öldürdü. Beyt Horon katliamı Roma ordusunun isyan eden bir eyalete karşı aldığı en büyük yenilgiydi. Roma, isyanın İmparatorluğun diğer bölgelerine sıçramasından korkuyordu. Galile’deki Yahudi halkının direniş liderliğini Josephus adında zeki bir yahudi yapmaktaydı. Görevi Roma saldırısına karşı direnişi hazırlamaktı. Bu sırada Romalıların kıskacı giderek daralıyor koca Roma ordusunun dörtte biri Galile’ye doğru yaklaşıyordu. Çetin bir kuşatmanın ardından Romalı askerler Josephus’un savunduğu kaleye girmeyi başardılar. Josephus ve beraberindeki 41 kişi kale içindeki o karışıklıkta bir su kuyusuna girip saklandılar. Ancak bir şekilde, Josephus’un yerini Romalı askerler öğrendi. Romalı komutan kuyuya saklananlara teslim olmaları halinde hayatlarını bağışlama vadinde bulundu. Josephus teslim olma taraftarı olmasına rağmen beraberindeki hiçkimse teslim olmaya yanaşmıyordu. Josephus’ un teslim olma fikrini hainlikle eşdeğer görüyorlar, teslim olmaktansa kendimizi öldürelim diyorlardı. Fakat Josephus’ un kendini öldürmeye veya hain olarak anılmaya hiç niyeti yoktu. Fakat arkadaşlarını da ikna edemeyince aklına başka bir şey geldi. İçlerinden biri vardı ki Josephus, O’nun da ölmesini istemiyordu. Şöyle bir teklifte bulundu : “Kişinin kendini öldürmesi Tanrı’ya hakarettir. Bunun yerine herkes bir başkası tarafından öldürülsün. Kimin kim tarafından öldürüleceğini ise şöyle belirleyelim. Herkes çember şeklinde dizilsin. Herhangi bir kişiden itibaren (bu saymaya başlanılan kişiye birinci diyelim) sol tarafa, doğru her üçüncü kişi sağındaki tarafından öldürülecek. (Yani üçüncü kişi ölecek.)” Bu şekilde sırası ile 3., 6., 9., … öldürüldü ta ki iki kişi kalana kadar. İşin ilginç yanı -her nasılsa- son kalan iki kişi Josephus ve yakın arkadaşı Yaakov oldu. Josephus bilge bir adamdı. Bu yüzden son kalan iki kişinin kendisi ve arkadaşı Yaakov olmasını bir şekilde ayarlaması mümkündü. Josephus daha sonra bu kurtuluşu Tanrı’nın isteği olarak nitelendirecekti. Acaba Josephus ve Yaakov kaçıncı sırada idiler? Ya da herhangi sayıda kişi olduğunda saymaya ilk başladığımız birinci ise kurtulan iki kişi kaçıncı numaralar olur?

Samuel Loyd ve 14-15 Bulmacası

Samuel Loyd, 1841-1914 yılları arasında yaşamış, Amerikalı ünlü bir satranç ve bulmaca ustasıdır. Büyük bir bulmaca ustası olan Martin Gardner O’nu “Amerika’nın en büyük bulmaca ustası” ve “bulmacanın prensi” olarak tanımlar. Bununla birlikte yalanları ve benciliği ile de ünlü olan Sam Loyd hakkında Martin Gardner, ” ve ayrıca üçkağıtçı” diye bahseder. Zira başkalarına ait bulmacaları kendi bulmacası gibi sunarak kendi ününü artırmıştır. İşte bu bulmacalardan biri de Cyclopedia of Puzzles adlı kitabında yer verdiği 14-15 bulmacasıdır. Bu bulmaca aslında Noyes Chapman’a aittir. 1880 yılında ilk yayınlandığında Amerika ve Avrupa’da büyük bir merak estirmiştir.

1 den 15 e kadar numaralandırılmış 15 adet parça yap-boz şeklindeki tahtaya şekildeki gibi dizilmiştir. (Resim oluşturma şeklindeki yap-bozlar gibi). Her bir parça sağa-sola veya yukarı-aşağı doğru ,eğer hareket ettireceğiniz yer boş ise, hareket etmektedir. Parçalar 1 den 15 e kadar dizilebilir mi? Bu soruyu çözene o günün parasıyla tam 1000 dolar verileceği vadedilmişti.

Dünyanın Sonu

1 Nisan 1946 da, Erewhon Daily Howler gazetesi, okuyucularına “Meşhur astrolog Profesör Umbigo 2141 yılı dünyanın sonu olacak dedi” diye duyurdu. Gazeteye göre, Profesörün önsezisi matematiksel bir ispata dayanıyordu. Profesörün bulduğu matematiksel ispat şöyleydi:

1492^n-1770^n-1863^n+2141^n

eşitliğinin n=0,1,2,3,...,1945  için aylarca bilgisayarla yapılan incelemeler sonucu daima 1946 ile tam bölündüğü bulunmuştu. Bu sayılar rastgele sayılar değildi. Hepsi dünyada önemli tarihleri gösteriyordu. Şöyle ki, 1492, 1770 ve 1863 sayıları dünyada önemli üç tarihi göstermekteydi. Bunlar sırasıyla Yeni Dünyanın Keşfi, Boston katliamı ve Lincoln’nün Gettyburg nutkunun tarihi idi. Peki 2141 ne anlama geliyordu. Bu açıkça dünyanın sonu idi…

Peki işin aslı neydi? Aslında bu bir 1 Nisan şakası idi.

1492^n-1770^n-1863^n+2141^n

ifadesi gerçekten  n=0,1,2,3,...,1945  için daima 1946 ile bölünüyordu. Ancak burda küçük bir matematiksel hile vardı: x-y daima x^n-y^n i böler. Şöyle ki:

1492^n-1770^n-1863^n+2141^n = F(n)

olsun.

2141-1770= 371=1863-1492

ve

2141-1863= 278=1770-1492

olduğundan ve 371  ile  278 aralarında asal olduklarından F(n)  daima

(278)(371)= (53)(1946) 

ile ve dolayısıyla 1946  tam bölünür.

Genel Matematik Dersi Ders Notu, Alıştırma Soruları ve Önceki Yılların Sınav Soruları

İndirmek için aşağıdaki linke tıklayınız:

 

Kaynak : 

GENEL MATEMATİK İşletme, İktisat, Yaşam ve Sosyal Bilimler İçin / Calculus for Business, Economics, Life Sciences And Social Sciences

Yayınevi: Nobel Akademik Yayıncılık
Yazar: Mond A BARNETT Michael R ZIEGLER Karl E BYLEEN

İstatistik Dersi Ders Notu, Alıştırma Soruları ve Önceki Yılların Sınav Soruları

Dersin kaynakları:

1.İstatistik – Schaum’s Serisi 

Yazarlar: Larry J. STEPHENS ve Murray R. SPIEGEL  Yayınevi: NOBEL Akademik Yayıncılık

2. Uygulamalı İstatistik 

Yazar: Prof. Dr. Özer Serper

3. Betimsel İstatistik (İstatistik I)  ve Çıkarımsal İstatistik (İstatistik II) 

Yazar : Prof. Dr. Necmi Gürsakal

4. İstatistik,Anadolu Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi

 

İndirmek için aşağıdaki linke tıklayınız:

https://drive.google.com/open?id=0BxhzwEnVwABoS2RpTWtWN3RrVlk

Putnam Matematik Yarışması

Yarışma 1938 yılında başladı ve Amerika Birleşik Devletleri ile Kanada'nın kolej ve üniversitelerinde matematiksel çalışmalarda sağlıklı bir rekabet oluşturmak için tasarlandı. Yarışmanın fikir babası olan William Lowell Putnam üniversite çalışmalarında, organize olmuş takımların rekabetlerinin çok değerli olduğuna inanıyordu. 1882'de Harvard sınıfının bir öğrencisi olan Putnam, 1921 yılında Harvard Mezunlar Dergisi'nin Aralık sayısında üniversiteler arası rekabetin yararlarını tarif eden bir makale yazdı. O'nun ölümünden sonra dul eşi William Lowell Putnam'ın anısına, O'nun hayalini gerçekleştirmek için 1927 yılında William Lowell Putnam Üniversiteler arası Memorial Fonu olarak bilinen bir güven fonu oluşturdu. Bu fon tarafından desteklenen ilk yarışma İngilizce alanında düzenlendi ve bir kaç yıl sonra, ikinci bir yarışma iki kurum arasında matematik alanında gerçekleştirildi. 1935 yılında bayan Putnam'ın ölümünden sonra ise yarışma Mathematical Association of America derneği tarafından bu günkü hali ile yapılmaya başlandı. Yarışma öğrencilerin üniversite düzeyindeki matematik bilgilerini ölçmek için düzenlenmektedir. Ancak sorulan sorular klasik kitabi bilgilerle değil de ancak derin bir sezgi ve ince bir bakış açısı ile çözülebilecek cinstendir.

Bu yarışmada sorulmuş sorulardan biri:
\int_0^1x^x \text{ d}x=1-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^3}-\frac{1}{4^4}+\cdots
olduğunu gösteriniz.

Sınavla ilgili daha detaylı bilgiye http://www.maa.org/math-competitions adresinden ulaşılabilir.

Analiz ve Tarihçesi*

Analiz Niçin Bulunmuştur?

       Analiz ilk olarak analtıncı ve onyedinci yüzyıl matematikçilerinin temelde mekanikteki gereksinimlerini karşılamak üzere icat edilmiştir. Analiz, insanların eğrilerin eğimlerini tanımlamasını, hareket eden cisimlerin hızlarını ve ivmelerini hesaplamasını, toplara en fazla erişimi sağlayacak ateşleme açılarını bulmasını ve gezegenlerin ne zaman birbirine en yakın veya en uzak konumda olacaklarını tahmin etmelerini sağladı.  İnsanların bir cismin gelecekteki konumunu şu andaki konumundan ve üzerine etki eden kuvvetler hakkında bilinenlerden hesaplamasını, bir yerin nüfusunun gelecekte ne olacağını, bir ortamdaki bakteri sayısının bir süre sonra ne olacağını, düzlemde düzgün olmayan şekillerin alanlarının nasıl bulunacağını, eğrilerin uzunluklarının ne olduğunu, her hangi bir cismin alanını, hacmini ve ağırlık merkezini bulmasını sağladı.  Kısaca analiz insanın evrende olup biten olayların hangi kurallarla olduğunu, belki de bir anlamda olayların şifrelerini insanların açıklamalarını sağladı.  Buna göre, matematiğin dolayısıyla analizin evrende olmadığı veya kullanılmadığı yer yoktur. Analiz, günümüzde Fizik, Mühendislik, Astronomi, Kimya, Tıp, Ulaşım, Gıda gibi hemen her alanda kullanılmaktadır.

Limit, Süreklilik, Türev, İntegral Nedir?

       Limit, değeri belirli bir sayıya yaklaşırken, bir fonksiyonun değerinin yaklaştığı değerdir.  Süreklilik, fonksiyonun bu yaklaşım anında kesintiye uğramamasıdır.  Türev bir eğrinin teğetlerinin eğimlerinin yaklaştığı değer, integral ise bir eğrinin altında kalan alandır.  Türev bir nokta için bilgi verir yani yereldir. İntegral ise türevin tersine bir noktada değil bir bölgedeki değişim hakkında bize bilgi verir.  Buna göre, teğet demek türev, alan demek ise integraldir. 

 

    Analiz Nasıl Bulundu?  Analiz'e Kimlerin Katkısı Oldu?
    
    Analiz'in kökeni 2000'i aşkın yıl öncesine, Yunanlıların alan ve teğetlerle çalışmalarına kadar gider. Arşimet (İ.Ö. 287-212) bir parabolün kesitine denk gelen alanı bulmuştur. Aynı zamanda, bir elipsin alanını ve bir kürenin yüzey alanını ve hacmini de bulmuştur.  Apollonius (İ.Ö. 260-200) elipslere, parabollere ve hiperbollere olan teğetler hakkında yazmış ve Arşimet, sarmal biçimli bir eğriye olan teğetleri tartışmıştı. Onlar "alan" ve "teğet"in bir çok yüzyıl sonra bir araya geleceğini pek beklememişlerdi. 
    
    Varlığını bin yılda uzun sürdüren Plato Akademisinin İ.S. 529'da İmparator Justinian tarafından kapatılmasıyla Yunan dünyası çökmüş bu çöküşten sonra, Yunan Matematikçilerinin mirasını Arap dünyası korumuştur.  Kendi liberal atmosferlerinde Arap, Hristiyan ve Yahudi araştırmacılar birlikte çalışarak eski yazmaları çevirerek yorumlamışlar ve fırsatını bulunca da kendi katkılarını koymuşlardır.  Örneğin Alhazen (İ.S. 965-1039) belirli cisimlerin hacimlerini hesaplamıştı. 
    
    Birkaç düşüncenin bir araya gelerek analiz'i oluşturması onyedinci yüzyıldan önce olmamıştır. 1637'de Descartes (1596-1650) ve Fermat (1601-1665) analitik geometriyi kurmuşlardır.  Descartes, verilen bir eğriyi cebirin yardımıyla incelerken, Fermat ters yoldan giderek verilen bir denklemden yola çıkarak bu denklemdeki geometriyi açığa çıkarmıştır. 
    
    Aynı dönemde Cavalieri (1598-1647) için eğrisinin altındaki alanı, üs arttıkça hesaplamaların uzunluğu da artarak hesaplamıştı.  Hesaplamalarından sonra da bu şekilde devam edeceğini tahmin etmişti.  Ondan sonraki 20 yıl içinde matematikçiler onun tahminini doğrulamışlardır. 
    
    Eğrilere teğet çizme probleminin belirlenmesi, onyedinci yüzyılın ilk yarısında da bulanık durumdaydı. Bununla ilgili Descartes ve Fermat basit düzeyde eğriler için birer yöntem vermişlerdi ancak verdikleri yöntemler genele uygulanabilecek türden değildi.
    
    Eğrilere teğet çizme problemi ve eğrilerin altındaki alanların bulunması probleminin çözümü tüm zamanların en iyi üç matematikçisinden biri olarak gösterilen Newton (1642-1677) tarafından yapılacaktı. Newton Cambridge'e 1661 de gelmiş ve vebadan kaçmak için ailesinin çiftliğinde kaldığı iki yıl içinde analizin temellerini atarak teğet bulma ile alan arasında ters bir ilişkinin olduğu farkına varmıştı. Fakat Newton o zamanlar çalışmalarını yayınlamamıştı, bu belki de, 1665'te Londra'daki büyük yangından sonra kitap ticaretindeki düşüş yüzündendi.  Yani Newton matematiğe en önemli katkılardan birini yapmış ancak çalışmasından kimseyi haberdar etmemişti.
    
    Newton'dan bağımsız olarak Alman matematikçi Leibniz de (1646,1716) analizi keşfetmişti. Matematiği ciddi bir hobi edinmiş bir avukat, diplomat ve filozof olan Leibniz, kendi çalışmalarını 1673-1676 yılları arasında oluşturmuştu.  Araştırmalarını Newton'un 1711'deki ilk yayınından çok daha önce 1684 ve 1686'da yayınlamıştı. gösterimleri, "diferansiyel", "analiz", "integral", "türev", "fonksiyon" gibi kavramların çoğunu Leibniz'e borçluyuz. 
    
    Görüldüğü gibi limit ve süreklilik kavramları matematiğe bir gecede girmedi.  Analiz'in bugünkü duruma ve etkinliğe gelebilmesi için daha iki yüzyıl gerekliydi. 1820'lere gelinmesine rağmen henüz yeterli bir "limit" tanımı dahi yapılamamıştı. Bu kavram için verilen tanımlardan hiç biri tam tanımlamayı yapamıyordu. 1820 de Cauchy (1789-1857), "limit" ve "süreklilik" tanımını yapıverdi.  Aynı zamanda belirli integralin bir tanımını da vermiş ve bu Riemann'ın (1826-1866) 1854'te yapmış olduğu küçük bir değişiklikle bugünkü standart haline ulaşmıştır.  Bu yine analizdeki en önemli dönüm noktalarından biriydi.  Çünkü bu zamana kadar yapılanlar sağlam temellere oturtulmuş oluyordu.  Ancak yine de son yüzyılda bile matematikçiler bu temel kavramları tam olarak anlayamıyorlardı. Şu an ders kitaplarındaki tanım, Alman matematikçi Weierstrass tarafından ondokuzuncu yüzyılın ortalarında yapılmıştır. Bu tanım sayesinde herkesin bu kavramları rahat bir şekilde anlaması sağlanmıştır. 
    
    Ondokuzuncu yüzyılın ikinci yarısındaki temel sorulardan biri her fonksiyonun integralinin alınıp alınamayacağı idi. 1883'te Liouville (1809-1882) her fonksiyonun integralinin alınamayacağını ispatladı. Yine 1850' lerdeki temel problemlerden bazıları "alanla ne demek istiyoruz" gibi bazı temel sorulardı. Örneğin, belirli bir kare içine yerleştirilmiş ve tüm koordinatları rasyonel olan noktalar kümesinin bir alanı var mıydı? Eğer varsa bu alan nedir? 1887 kadar yakın bir geçmişte, Peano (1858-1932), alanın duyarlı bir tanımını veren kişi olmuştu.  Peano'dan önceki matematikçiler "alan" kavramını sezgisel olarak ele almışlardı. 
    
    Yirminci yüzyıl, analiz'in bir çok yeni alanda uygulanmasına sahne olmuştur.  Bu yüzyılda matematikçiler analize ait en derin teorik sonuçları elde ettiler ve bunun bir sonucu olarak Fizik'te de olağanüstü gelişmeler oldu.  Çünkü Fizikteki problemlerin çözümleri analizde yatmakta idi.  Yine yirminci yüzyılda Analiz teknolojinin bir çok alanına uyarlandı ve denilebilir ki şu an erişilen teknoloji varlığını analize borçludur. Analiz hala bütün canlılığı ile büyümektedir ve her yıl yüzlerce matematikçi analize yayınladıkları binlerce makale ile katkıda bulunmaktadırlar. 
    
    
    
    Okunuşlar:
    Descartes "Dekart"
    Fermat "Ferma"
    Newton "Nivton"
    Leibniz "Laybnits"
    Cauchy "Koşi"
    Rieman "Riman" 
    Weierstrass "Vayştraz"
    Liouville "Liyuvil"
    Peano "Peyano"

 

*Sherman K. Stein ve Anthony Barcellos'un yazdığı, Beno Kuryel ve  Firuz Balkan'ın Türkçeye çevirdiği Calculus ve Analitik Geometri,  adlı güzel kitaptan alınmıştır.