Birçok problemin çözümünde kullanılan güvercin yuvası prensibi (Çekmece gözü prensibi, Kutu ilkesi, Drichlet İlkesi) ifade olarak çok basittir ancak bir çok sorunun çözümünde çok önemli rol oynamaktadır. Güvercin Yuvası prensibi genel olarak üç farklı şekilde ifade edilir.

1.   top farklı kutuya dağıtıldığında en az bir kutuda 1 den fazla top bulunur.
2.    tane güvercin tane yuvaya nasıl konulursa konulsun en az bir yuvadaki güvercin sayısı dan az değildir.
3.   adet bilye farklı kutuya dağıtıldığında en az bir kutuda  den fazla (en az tane) bilye bulunur.

İspat.   adet bilyeyi kutuya dağıtalım ve her kutuda en fazla tane bilye bulunsun. Buna göre toplam bilye sayısı en fazla olur oysa toplam adet bilye vardı. Demek ki en az bir kutuda  den fazla bilye vardır.

Bu temel ilke ilk defa Drichlet (1805-1859) tarafından 1834 yılında “shelf principle” adı ile kullanılmıştır. Bir problemde güvercin yuvası ilkesinin kullanılacağını sezmek oldukça kolaydır. Ancak problemi bu ilkeye uyarlayıp çözüme gitmek zordur.
Örnek 1. 15 kişilik bir insan grubu içinde aynı cinsiyete ait en az 8 kişi vardır.

Örnek 2. 37 kişi arasında aynı ayda doğan en az 4 kişi vardır.

Örnek 3. Bir gruptaki 3655 kişi arasında en az 11 kişinin doğum günleri aynıdır.

Örnek 4. 5 kişilik bir grupta aynı sayıda arkadaşı olan en az 2 kişinin olduğunu gösteriniz.

Çözüm. 5 adet kutu alalım ve kutuları sırası ile 0,1,2,3,4 ile numaralandıralım. Eğer bir kişinin hiç arkadaşı yoksa onu 0 numaralı kutuya, eğer bir kişinin 1 arkadaşı varsa onu 1 numaralı kutuya vb. koyalım. Bu şekilde yerleştirdiğimizde 5. kişi önceden doldurulan bir kutuya konmak zorunda olacaktır.

Örnek 5. 1,2,3,4,…,100 sayılarından en az iki tanesinin ortak böleninin kesinlikle 1 den büyük olması için en az kaç sayı alınmalıdır?

Çözüm. Bu yüz adet sayı arasında 26 adet asal sayı vardır. Bu asal sayıların obebleri 1 dir. Eğer bu 26 sayı ile birlikte 1 i ve ek olarak 1 tane daha sayı alırsak bu sayının 28 sayının içinde obebi 1 den büyük olan iki tane mutlaka olacaktır.

Örnek 6. 1,2,3,…,100 sayıları arasından en az kaç sayı seçelim ki biri diğerini mutlaka bölsün?

Çözüm. Her  doğal sayısı   tek olacak şekilde  şeklinde yazılabilir. sayısı,  {1,3,5,…,99} kümesinin bir elemanıdır. Bu küme 50 elemanlıdır. Demek ki seçilecek 51 sayı nasıl seçilirse seçilsin aynı sayısını içeren iki tane bulunacaktır. Bunlardan biri diğerini bölecektir.

Not. Genel olarak sayı arasından tanesi seçildiğinde bu sayılar arasında biri mutlaka diğerini bölen iki sayı mevcuttur.

Örnek 7. Verilen 52 farklı sayı içerisinde toplamları veya farkları 100 ile bölünebilen iki sayının mutlaka bulunacağını gösteriniz.

Çözüm. Bir sayının son iki basamağı 00,01,02,…,98,99 şeklindedir. Demek ki son iki basamak 100 farklı sayıdan biridir. Şimdi en kötü durum olacak şeklide sayıları seçelim. Bunun için 01 ve 99 ; 02 ve 98 ; 00 ve 50 ile biten sayılar aynı anda seçilmemiş olsun. Bunlardan sadece birini seçmiş olalım. Bu durumda tam 50 sayı seçmiş oluruz. Seçeceğimiz 51. ve 52. sayılar önceden seçtiğimiz 50 sayının eşlerinden biri olacaktır. Eğer aynı iki sayı seçilirse bu durumda bu sayıların farkı 100 ile bölünmüş olur.

Örnek8. Rastgele 2000 farklı tamsayı veriliyor. Bu tamsayılar içinde farkları 1999 ile kesinlikle bölünecek şekilde iki tanesinin olduğunu gösteriniz.

Çözüm. Bir tamsayı 1999 ile bölündüğünde 0,1,2,3,…,1998 kalanlarından biri elde edilir. 0,1,2,3,…,1998 şeklinde numaralandırılmış 1999 tane kutu alalım. Verilen 2000 sayıyı sırası ile hangi kalanı veriyorsa o numaralı kutuya koyalım. Ancak 1999 farklı kalan ve 2000 farklı sayı olacağından dolayı aynı kalanı veren iki sayı aynı kutuya konmuış olur. Bu iki sayının farkı 1999 ile tam bölünür.

Örnek 9. Kenar uzunluğu 1 birim olan bir karesel alan üzerinde alınan beş farklı noktadan en az ikisi arasındaki uzaklığın   den küçük veya eşit olduğunu gösteriniz.

Çözüm. Verilen noktalar , , ,  ve ile gösterelim. Bu noktaları mümkün olduğunca birbirlerinden uzağa yerleştirelim. Bunun için , , ,  noktalarını karenin dört köşesine koyalım. Ancak nasıl yerleştirilse yerleştirilsin karenin köşelerine eşit uzaklıkta yani birim uzaklıkta ya da bir köşeye birimden daha yakındır.

Örnek10. Kenar uzunluğu 1 birim olan bir kare içinde 201 nokta işaretleniyor. Yarıçapı olan bir çemberin bu noktalardan en az üçünü kesinlikle çevreleyeceğini ispatlayınız.

Çözüm. Kareyi kenar uzunlukları olan 100 adet kareye bölelim. Güvercin yuvası prensibine göre içinde 3 nokta olan en az bir kare vardır. Bu kareyi çevreleyen çemberin yarıçapı dir. olduğundan merkezi bu üç noktayı içeren karenin merkezi olan yarıçaplı bir çember bu kare içindeki üç noktayı çevreler.

Aşağıdaki problemleri de birer alıştırma olarak verelim:

Örnek 11. Bir sınıfta 33 öğrenci vardır, bunların yaşları toplamı 430 dur. Bu sınıfta yaşları toplamı 260  tan büyük 20 öğrenci bulunduğunu gösteriniz.

Örnek 12. Bir okuldaki 12 sınıftan toplam 65 öğrenci alınmak istendiğinden en az iki sınıftan aynı sayıda öğrenci alınması gerektiğini kanıtlayınız.

Örnek 13. Bir kutuda sarı ve lacivert renkte toplam 50 bilye bulunmaktadır. Herhangi 22 bilyeden en az biri sarı, herhangi 30 bilyeden en az biri laciverttir. Buna göre kutudaki sarı ve lacivert bilye sayılarını bulunuz.

Örnek 14. Bir düzlemde herhangi ikisi paralel olmayan 11 doğru verilmiştir. Bunlardan aralarındaki açı 17° den küçük olan iki doğrunun bulunduğunu gösteriniz.

Örnek 15. Düzlem üzerinde herhangi üçü doğrusal olmayan 4 nokta alınıyor. Bu noktalarla bütün açıları bütün açıları 45° den büyük olan bir üçgen oluşturulamayacağını gösteriniz.

Örnek 16. 40 tan büyük olmayan pozitif tamsayılardan, hiçbiri diğerinin 2 katı olmayacak şekilde en fazla kaç sayı seçilebilir?

Örnek 17.  farklı reel sayıdan oluşan dizisinde artan sırada eleman veya azalan sırada tane eleman olduğunu gösteriniz. (Erdös ve Szekeres)

Örnek 18.  {1,2,3,…,13} kümesinin elemanları hiçbir kümede iki elemanın toplamı üçüncü bir elemana eşit olmayacak ve bir elemanın 2 katı başka bir elemana eşit olmayacak şekilde 3 alt kümeye ayrılabilir mi? Neden?

Örnek 19. Bir kümede herhangi iki elemanın toplamı başka bir elemana eşit değilse ve hiçbir elemanın iki katı bu kümenin başka bir elemanına eşit değilse bu kümeye serbest toplamlı küme denir. Buna göre { 1,2,3,…, } kümesinin daima serbest toplamlı alt kümeye bölünebileceğini gösteriniz.

Örnek 20. {1,2,3,…, } kümesinin maksimum sayıda eleman içeren serbest toplamlı bir alt kümesini oluşturunuz.

Cambridge Üniversitesi’ndeki laboratuvarlardan birine yeni bir Xerox marka renkli fotokopi makinası gelmişti.

2000’li yıllardı ve bu yeni çıkmış makinanın hünerlerini denemek için öğrencilerden biri hemen cebinden bir kağıt para çıkarıp fotokopisini çekmeye çalıştı. (Paranın fotokopisini çekmek İngiltere’de ve başka ülkelerde yasa dışıdır.)

20 sterlin makinanın tarama bölümüne konulup düğmeye basıldı. Makinanın normal çalışma sesi duyuldu ama paranın fotokopisi çıkmadı. Onun yerine para kopyalamanın yasa dışı olduğunu belirten bir uyarı çıktı birçok dilde.

Beş çember

Makina nasıl olmuş da bir paranın fotokopisinin çekilmeye çalışıldığını anlamıştı? Bu denemeyi yapan o sıralar doktora öğrencisi olan bilgisayar uzmanı Markus Kuhn’du. Euro banknotları yeni çıkmıştı ve cüzdanında 10 euro vardı. Paranın üzerindeki minik çemberleri ve bunlardan oluşan desenin tekrarlandığını gördü.

20 sterline baktığında çemberlerden oluşan aynı desenleri orada da gördü. Ama oradakiler resimdeki notaların içinde saklıydılar.

Bu beş çemberden oluşan desenin dünyadaki diğer bütün banknotların hem ön hem de arka yüzünde kullanıldığı ortaya çıktı. Fakat farklı para birimlerinde renk ve biçimler farklı olduğu halde fotokopi makinası bunu nasıl tespit edebiliyordu?

Kuhn araştırmaya başladı. Önce boş bir kağıda sadece çemberlerden oluşan deseni çizdi. Bunu yazıcıdan alıp fotokopisini çekmeye çalıştı. Siyah-beyaz çektiğinde sorun çıkmamıştı, ama çemberleri renklendirip çektiğinde fotokopi makinasından aynı mesajı almıştı.

Fotokopi ve tarama cihazlarının bu desenleri nasıl tanıdığı konusu gizemini koruyor. Fakat Hindistan’daki kamu bankası Maharashtra’nın yayımladığı bir belgede, çemberleri çıplak gözün görmediği bir renkte tespit eden bir mekanizmanın varlığından söz ediliyordu.

‘Omron deseni’

Bu konuda herhangi bir yetkiliden fikir almak oldukça zor. Ne bankacılar, ne cihaz imalatçıları bu konuda konuşmak istiyor.

Peki bu özel desen kimin eseri? Hindistan Merkez Bankası 2005’teki bir basın açıklamasında bu deseni Japon firması Omron’la ilişkilendirmişti. Yine Hindistanlı emekli bir yetkili blogunda Omron deseni olarak adlandırdığı bu desenin 1996’dan bu yana kullanıldığını söylüyordu.

Banknotların basıldığı materyalleri hazırlayan Innovia Films adlı şirketin pazarlama müdürü Steve Casey “dijital çağda banknotlar için geliştirilen ilk güvenlik önlemi” olarak adlandırıyor bu deseni.

Xerox adlı fotokopi markasının banknotlardaki bu deseni tanıyacak şekilde mi tasarlandığına dair soruya firma yetkilisi Xerox ve diğer fotokopi ve tarama cihazlarının, sahte paraya karşı 32 merkez bankasının oluşturduğu bir konsorsiyumla birlikte çalıştığını ifade etti.

Photoshop kodları

Banknotlarda başka gizli kodlar da var. Fakat merkez bankaları dışında bunları kimse bilmiyor.

Adobe Photoshop gibi fotoğraf düzenleme programlarında banknotlardaki görseller üzerinde oynanmasını engelleyen kodlar da var. Bunların insan gözüyle görülmeyen desenler olduğuna inanılıyor. Digimarc adlı şirket bu alanda bazı patentlere sahip. Bunlar arasında, herhangi bir bilgisayardaki fotoğraf düzenleme programlarında banknotlar üzerindeki resimlerle oynandığında kayıt yapılması da bulunuyor. Daha sonra yasal işlem yapıldığında şüphelinin bu tür verileri elde edilebiliyor.

Ticari bilgisayar programlarının benzeri teknolojileri içerip içermediği bilinmiyor. Digimarc bu konuda yorum yapmıyor. Sahte para basımına karşı konsorsiyum ise mahremiyet sorunundan dolayı takip ve kayıt yöntemleri geliştirilmediğini, ancak fotokopi ve fotoğraf düzenlemesini engellemek amacıyla bazı teknikler geliştirdiklerini kabul ediyor. Bu yöntemlerin sahte para basımını azaltmada etkili olduğu belirtiliyor.

Bu alanda ne tür teknoloji kullanıldığını belki hiç öğrenemeyeceğiz. Fakat Kuhn’un dediği gibi, imalatçılar insanların aklına gelen ilk şeyin fotokopi çekmek olacağını bildiği için ilk önlemlerini de bu alanda almaları normaldir. Yoksa herkes kolayca sahte para basımı işine girişirdi.

Steve Casey’in dediği gibi, “Merkez bankaları ülke çapında yüzlerce kalpazanla uğraşmak istemiyor… Onları tespit etmesi çok zor olurdu yoksa.”

(*) Chris Baraniuk, BBC Future, 25 Haziran 2015

‘Cehalet saadettir’ diye bir söz vardır. Yani zeki olmak mutsuzluk mu getirir?

Bazı dahilerin yaşamından yalnızlık, öfke, bunalımın eksik olmadığı örnek verilir. Ünlü yazar Ernst Hemingway “Zeki insanların mutlu olduğuna pek rastlanmaz” diyordu.

Eğitim sistemi akademik zekanın geliştirilmesi üzerine kuruludur ve bu da, sınırlılıkları bilinmesine rağmen, IQ yoluyla ölçülür. IQ seviyesini yükseltmek için insanlar epey para döker. Peki ya bu zeka arayışı ahmak işi ise?

Bu sorulara yanıt arayışı yüz yıl kadar önce başladı. Birinci Dünya Savaşı’nda önemli görevlere asker alımında sıkça başvurulan IQ testi daha sonra 1926’da psikolog Lewis Terman tarafından zeki çocuklar üzerindeki araştırmada kullanılmıştı. California okullarından, IQ seviyesi 140’ın üzerinde olan en zeki 1500 öğrenci seçilmişti. Bunların 80’inin ise IQ seviyesi 170’ten fazlaydı. Bu çocuklar yaşamları boyunca iniş ve çıkışlarıyla gözlem altında tutuldular.

Çoğu zengin ve ünlü olmuştu. Maaşları ortalamanın iki katı civarındaydı. Ama grup üyelerinin tümü psikolog Terman’ın beklentilerini gerçekleştirmedi. Bazıları sıradan bir polis memuru, denizci, ya da sekreter olmuştu. Bu nedenle Terman “zeka ve başarının doğru orantılı olmayabileceği” sonucuna vardı. Bu kişilerin zeki oluşu mutlu olacakları anlamına da gelmiyordu. Yaşamları boyunca onlar da boşanma, alkolizm ve intihar gibi sorunlar bakımından ulusal ortalamada seyretmişlerdi.

Yani zeka daha iyi bir yaşam demek değildi. İyimser bir bakışla üstün zeka yaşam tatmini bakımından bir fark yaratmıyor, kötümser bakışla ise zekaya rağmen daha az başarı gösterme durumu ortaya çıkabiliyordu. Peki, neden süper zekalı olmak uzun vadede olumlu bir fark yaratmamıştı?

Ağır yük

Bunun nedenlerinden biri, yeteneklerin farkında olmanın yarattığı zincirleme etki olabilir. 1990’larda bu grubun hayatta olan üyelerinden 80 yıllık yaşamlarını değerlendirmeleri istendiğinde çoğu, gençlik dönemindeki beklentilerini gerçekleştiremediklerini ifade etmişti.

Başkalarının da beklentileri eklendiğinde bu beklenti yükü birçok yetenekli çocuk açısından da geçerli. 12 yaşında Oxford Üniversitesi’ne kaydolan Sufiah Yusof adlı dahi öğrenci buna iyi bir örnektir. Yusof okulu bitirmeden bırakmış ve garsonluğa başlamış, sonra da telekız olarak çalışmaya başlamıştı.

Bu konudaki bir başka görüş de zeki insanların dünyadaki sorunların daha fazla farkında olması ve bunları kendilerine dert edinip varoluşsal bir sorun haline getirmeleridir.

Sürekli endişe hissi bir zeka belirtisi olabilir. Kanada’da bir üniversitede yapılan araştırmada IQ’sü yüksek olan öğrencilerin gün boyunca daha fazla endişe hissi yaşadığını tespit etti. Bunların çoğu gündelik, sıradan sorunlardı. Yaşanmış olumsuz bir olayı gün boyunca daha fazla düşünüyorlardı.

Rasyonellik testi

Fakat ne yazık ki daha zeki olmak daha zeki kararlar almak anlamına gelmiyor. Yıllardır rasyonellik testi üzerinde çalışan Toronto Üniversitesi’nden Keith Stanovich, adil ve önyargısız karar verme yetisinin IQ seviyesi ile ilgili olmadığını söylüyor.

Hatta algısal testlerde yüksek sonuç alanlar başkalarının hatasını kolaylıkla tespit edip eleştirirken kendi yanlışlarına karşı daha az acımasız oluyorlar.

Stanovich bu önyargılara toplumun her kesiminde rastlandığını, fazlasıyla zeki insanların bile mantıksız davranabildiğini söylüyor.

Kanada’daki Waterloo Üniversitesi’nden Igor Grossmann rasyonel kararlar vermenin zekadan ziyade “bilgelik” ile alakalı olduğunu, bunun ise tarafsız, önyargısız bir şekilde yargıda bulunmak anlamına geldiğini düşünüyor.

Bir deneyde Grossman gönüllü deneklere sosyal içerikli çeşitli açmazlardan söz etmiş (Kırım sorunu, gazetelerin Güzin Abla köşelerindeki sorunlar vb.) ve kişiler bu konuları tartışırken bir grup psikolog da onların mantık yürütme ve önyargıya kapılma eğilimlerini incelemişti. Bu deneyde yüksek not alanların hayattan daha fazla zevk aldıkları, ilişkilerinde daha iyi oldukları ve daha az endişe duydukları görüldü. Bunlar genellikle IQ seviyesi yüksek olan insanların sahip olmadığı düşünülen özelliklerdi.

Bilgeliğin sırrı

Gelecekte şirketler işe alacakları insanları IQ yerine bu türden testlere tabi tutabilir. Google zaten bu yönlü bir planını açıklamış bulunuyor.

Grossman bilgeliğin de eğitim yoluyla edinilebileceğine inanıyor. Kendimizi değil de başkalarını düşündüğümüzde önyargılarımızı geride bıraktığımızı, “ben” zamiri yerine üçüncü şahısları getirdiğimizde sorunlara karşı duygusal bir mesafe koyabileceğimizi belirtiyor.

Fakat insanların kendi kusurlarını kabul etmesinin zorluğu kabul edilir bir durum. Yaşamı boyunca zekasına dayanmış bir insanın bu zekanın kendisini yanlış yargılara itebileceğini kabul etmesi zordur. Belki de Sokrates’in dediği gibi “en bilge insan, hiçbir şey bilmediğini kabul eden insandır”.

(*) David Robson, BBC Future, 11 Haziran 2015

Bir kral ele geçen esirlere şu şekilde bir öneri sunmuştur. “Daire şeklinde dizilin. İçinizden rastgele birine bir kılıç vereceğim. Bu birinci olsun. Kılıcı verdiğim hemen solundakini öldürecek ve kılıcı ölen esirin solundakine yani üçüncüye verecek. Kılıcı alan solundakini öldürüp kılıcı öldürdüğünün yanındakine verecek. Bu şekilde 1 kişi kalana kadar devam edecek. Son kalan esiri serbest bırakacağım.” Buna göre toplam 1000 esir varsa kaçıncı kurtulacaktır?

Çözüm şu şekilde : Eğer esir sayısı 2 nin bir üssü olursa daima kralın kılıcı ilk verdiği esir kurtulacaktır. Örneğin 64 esir olsun. İlk önce ((64)/2)=32 kişi ölecek kılıç tekrar birinciye gelecektir. ((32)/2)=16 kişi ölecek sıra tekrar birinciye gelecek. En son kılıç birincinin eline gelecek ve iki kişi kalacaklar. Yani birinci kurtulacak. Genel olarak n kişi varsa n den en yakın 2 nin kuvvetini çıkarıyoruz. Kalan k ise bu durumda 2k+1 numaralı kişi kurtulur. Örnek olarak 1000 kişi için çözüm yaparsak: 1000 den en yakın 2 nin kuvvetini atalım 1000-2⁹=488 olduğundan 2×488+1= 977 numaralı esir kurtulacaktır. Çözümün neden bu olduğunu okuyucuya bırakıyorum kasten. Asıl sormak istediğim problemi soramam yoksa.

Gelelim asıl mevzuya. Milattan sonra 66-73 yılları arasında Roma imparatoru Neron öldürülmüş ve Roma imparatorluğu bir iç savaş yaşamaktaydı. Neron zamanında Roma yı mamur etmek için başlatılan seferberlik Roma yı adeta bir inşaat alanına çevirmekle kalmamış bunun altından kalkabilmek için vergiler olabildiğinde artırılmıştı. Günümüzde İsrail olarak bilinen Judea’nın Romalı valisinin vergileri artırmasını bahane eden yahudiler iç savaşı da fırsat bilip isyan ettiler. Judea topraklarındaki tüm Romalılar Kudüs dışına çıkarılmış isyan durdurulamaz bir hal almıştı. Bundan 6 ay sonra, 30 bin Roma askeri isyanı bastırmak için gönderildi. M.S. 66 yılının kışında, Yahudi direnişçiler Beyt Horon da 30 bin askerden 6 bin kadarını öldürdü. Beyt Horon katliamı Roma ordusunun isyan eden bir eyalete karşı aldığı en büyük yenilgiydi. Roma, isyanın İmparatorluğun diğer bölgelerine sıçramasından korkuyordu. Galile’deki Yahudi halkının direniş liderliğini Josephus adında zeki bir yahudi yapmaktaydı. Görevi Roma saldırısına karşı direnişi hazırlamaktı. Bu sırada Romalıların kıskacı giderek daralıyor koca Roma ordusunun dörtte biri Galile’ye doğru yaklaşıyordu. Çetin bir kuşatmanın ardından Romalı askerler Josephus’un savunduğu kaleye girmeyi başardılar. Josephus ve beraberindeki 41 kişi kale içindeki o karışıklıkta bir su kuyusuna girip saklandılar. Ancak bir şekilde, Josephus’un yerini Romalı askerler öğrendi. Romalı komutan kuyuya saklananlara teslim olmaları halinde hayatlarını bağışlama vadinde bulundu. Josephus teslim olma taraftarı olmasına rağmen beraberindeki hiçkimse teslim olmaya yanaşmıyordu. Josephus’ un teslim olma fikrini hainlikle eşdeğer görüyorlar, teslim olmaktansa kendimizi öldürelim diyorlardı. Fakat Josephus’ un kendini öldürmeye veya hain olarak anılmaya hiç niyeti yoktu. Fakat arkadaşlarını da ikna edemeyince aklına başka bir şey geldi. İçlerinden biri vardı ki Josephus, O’nun da ölmesini istemiyordu. Şöyle bir teklifte bulundu : “Kişinin kendini öldürmesi Tanrı’ya hakarettir. Bunun yerine herkes bir başkası tarafından öldürülsün. Kimin kim tarafından öldürüleceğini ise şöyle belirleyelim. Herkes çember şeklinde dizilsin. Herhangi bir kişiden itibaren (bu saymaya başlanılan kişiye birinci diyelim) sol tarafa, doğru her üçüncü kişi sağındaki tarafından öldürülecek. (Yani üçüncü kişi ölecek.)” Bu şekilde sırası ile 3., 6., 9., … öldürüldü ta ki iki kişi kalana kadar. İşin ilginç yanı -her nasılsa- son kalan iki kişi Josephus ve yakın arkadaşı Yaakov oldu. Josephus bilge bir adamdı. Bu yüzden son kalan iki kişinin kendisi ve arkadaşı Yaakov olmasını bir şekilde ayarlaması mümkündü. Josephus daha sonra bu kurtuluşu Tanrı’nın isteği olarak nitelendirecekti. Acaba Josephus ve Yaakov kaçıncı sırada idiler? Ya da herhangi sayıda kişi olduğunda saymaya ilk başladığımız birinci ise kurtulan iki kişi kaçıncı numaralar olur?

Samuel Loyd, 1841-1914 yılları arasında yaşamış, Amerikalı ünlü bir satranç ve bulmaca ustasıdır. Büyük bir bulmaca ustası olan Martin Gardner O’nu “Amerika’nın en büyük bulmaca ustası” ve “bulmacanın prensi” olarak tanımlar. Bununla birlikte yalanları ve benciliği ile de ünlü olan Sam Loyd hakkında Martin Gardner, ” ve ayrıca üçkağıtçı” diye bahseder. Zira başkalarına ait bulmacaları kendi bulmacası gibi sunarak kendi ününü artırmıştır. İşte bu bulmacalardan biri de Cyclopedia of Puzzles adlı kitabında yer verdiği 14-15 bulmacasıdır. Bu bulmaca aslında Noyes Chapman’a aittir. 1880 yılında ilk yayınlandığında Amerika ve Avrupa’da büyük bir merak estirmiştir.

1 den 15 e kadar numaralandırılmış 15 adet parça yap-boz şeklindeki tahtaya şekildeki gibi dizilmiştir. (Resim oluşturma şeklindeki yap-bozlar gibi). Her bir parça sağa-sola veya yukarı-aşağı doğru ,eğer hareket ettireceğiniz yer boş ise, hareket etmektedir. Parçalar 1 den 15 e kadar dizilebilir mi? Bu soruyu çözene o günün parasıyla tam 1000 dolar verileceği vadedilmişti.

1 Nisan 1946 da, Erewhon Daily Howler gazetesi, okuyucularına “Meşhur astrolog Profesör Umbigo 2141 yılı dünyanın sonu olacak dedi” diye duyurdu. Gazeteye göre, Profesörün önsezisi matematiksel bir ispata dayanıyordu. Profesörün bulduğu matematiksel ispat şöyleydi:

eşitliğinin için aylarca bilgisayarla yapılan incelemeler sonucu daima 1946 ile tam bölündüğü bulunmuştu. Bu sayılar rastgele sayılar değildi. Hepsi dünyada önemli tarihleri gösteriyordu. Şöyle ki, 1492, 1770 ve 1863 sayıları dünyada önemli üç tarihi göstermekteydi. Bunlar sırasıyla Yeni Dünyanın Keşfi, Boston katliamı ve Lincoln’nün Gettyburg nutkunun tarihi idi. Peki 2141 ne anlama geliyordu. Bu açıkça dünyanın sonu idi…

Peki işin aslı neydi? Aslında bu bir 1 Nisan şakası idi.

ifadesi gerçekten   için daima ile bölünüyordu. Ancak burda küçük bir matematiksel hile vardı: daima i böler. Şöyle ki:

olsun.

ve

olduğundan ve ile  aralarında asal olduklarından daima

ile ve dolayısıyla tam bölünür.

Yarışma 1938 yılında başladı ve Amerika Birleşik Devletleri ile Kanada'nın kolej ve üniversitelerinde matematiksel çalışmalarda sağlıklı bir rekabet oluşturmak için tasarlandı. Yarışmanın fikir babası olan William Lowell Putnam üniversite çalışmalarında, organize olmuş takımların rekabetlerinin çok değerli olduğuna inanıyordu. 1882'de Harvard sınıfının bir öğrencisi olan Putnam, 1921 yılında Harvard Mezunlar Dergisi'nin Aralık sayısında üniversiteler arası rekabetin yararlarını tarif eden bir makale yazdı. O'nun ölümünden sonra dul eşi William Lowell Putnam'ın anısına, O'nun hayalini gerçekleştirmek için 1927 yılında William Lowell Putnam Üniversiteler arası Memorial Fonu olarak bilinen bir güven fonu oluşturdu. Bu fon tarafından desteklenen ilk yarışma İngilizce alanında düzenlendi ve bir kaç yıl sonra, ikinci bir yarışma iki kurum arasında matematik alanında gerçekleştirildi. 1935 yılında bayan Putnam'ın ölümünden sonra ise yarışma Mathematical Association of America derneği tarafından bu günkü hali ile yapılmaya başlandı. Yarışma öğrencilerin üniversite düzeyindeki matematik bilgilerini ölçmek için düzenlenmektedir. Ancak sorulan sorular klasik kitabi bilgilerle değil de ancak derin bir sezgi ve ince bir bakış açısı ile çözülebilecek cinstendir.

Bu yarışmada sorulmuş sorulardan biri:

olduğunu gösteriniz.

Sınavla ilgili daha detaylı bilgiye http://www.maa.org/math-competitions adresinden ulaşılabilir.

İlk akla gelen

demek ancak çok daha estetik ve kısa bir çözümü var.

Analiz Niçin Bulunmuştur?

       Analiz ilk olarak analtıncı ve onyedinci yüzyıl matematikçilerinin temelde mekanikteki gereksinimlerini karşılamak üzere icat edilmiştir. Analiz, insanların eğrilerin eğimlerini tanımlamasını, hareket eden cisimlerin hızlarını ve ivmelerini hesaplamasını, toplara en fazla erişimi sağlayacak ateşleme açılarını bulmasını ve gezegenlerin ne zaman birbirine en yakın veya en uzak konumda olacaklarını tahmin etmelerini sağladı.  İnsanların bir cismin gelecekteki konumunu şu andaki konumundan ve üzerine etki eden kuvvetler hakkında bilinenlerden hesaplamasını, bir yerin nüfusunun gelecekte ne olacağını, bir ortamdaki bakteri sayısının bir süre sonra ne olacağını, düzlemde düzgün olmayan şekillerin alanlarının nasıl bulunacağını, eğrilerin uzunluklarının ne olduğunu, her hangi bir cismin alanını, hacmini ve ağırlık merkezini bulmasını sağladı.  Kısaca analiz insanın evrende olup biten olayların hangi kurallarla olduğunu, belki de bir anlamda olayların şifrelerini insanların açıklamalarını sağladı.  Buna göre, matematiğin dolayısıyla analizin evrende olmadığı veya kullanılmadığı yer yoktur. Analiz, günümüzde Fizik, Mühendislik, Astronomi, Kimya, Tıp, Ulaşım, Gıda gibi hemen her alanda kullanılmaktadır.

Limit, Süreklilik, Türev, İntegral Nedir?

       Limit, değeri belirli bir sayıya yaklaşırken, bir fonksiyonun değerinin yaklaştığı değerdir.  Süreklilik, fonksiyonun bu yaklaşım anında kesintiye uğramamasıdır.  Türev bir eğrinin teğetlerinin eğimlerinin yaklaştığı değer, integral ise bir eğrinin altında kalan alandır.  Türev bir nokta için bilgi verir yani yereldir. İntegral ise türevin tersine bir noktada değil bir bölgedeki değişim hakkında bize bilgi verir.  Buna göre, teğet demek türev, alan demek ise integraldir. 

    Analiz Nasıl Bulundu?  Analiz'e Kimlerin Katkısı Oldu?
    
    Analiz'in kökeni 2000'i aşkın yıl öncesine, Yunanlıların alan ve teğetlerle çalışmalarına kadar gider. Arşimet (İ.Ö. 287-212) bir parabolün kesitine denk gelen alanı bulmuştur. Aynı zamanda, bir elipsin alanını ve bir kürenin yüzey alanını ve hacmini de bulmuştur.  Apollonius (İ.Ö. 260-200) elipslere, parabollere ve hiperbollere olan teğetler hakkında yazmış ve Arşimet, sarmal biçimli bir eğriye olan teğetleri tartışmıştı. Onlar "alan" ve "teğet"in bir çok yüzyıl sonra bir araya geleceğini pek beklememişlerdi. 
    
    Varlığını bin yılda uzun sürdüren Plato Akademisinin İ.S. 529'da İmparator Justinian tarafından kapatılmasıyla Yunan dünyası çökmüş bu çöküşten sonra, Yunan Matematikçilerinin mirasını Arap dünyası korumuştur.  Kendi liberal atmosferlerinde Arap, Hristiyan ve Yahudi araştırmacılar birlikte çalışarak eski yazmaları çevirerek yorumlamışlar ve fırsatını bulunca da kendi katkılarını koymuşlardır.  Örneğin Alhazen (İ.S. 965-1039) belirli cisimlerin hacimlerini hesaplamıştı. 
    
    Birkaç düşüncenin bir araya gelerek analiz'i oluşturması onyedinci yüzyıldan önce olmamıştır. 1637'de Descartes (1596-1650) ve Fermat (1601-1665) analitik geometriyi kurmuşlardır.  Descartes, verilen bir eğriyi cebirin yardımıyla incelerken, Fermat ters yoldan giderek verilen bir denklemden yola çıkarak bu denklemdeki geometriyi açığa çıkarmıştır. 
    
    Aynı dönemde Cavalieri (1598-1647) için eğrisinin altındaki alanı, üs arttıkça hesaplamaların uzunluğu da artarak hesaplamıştı.  Hesaplamalarından sonra da bu şekilde devam edeceğini tahmin etmişti.  Ondan sonraki 20 yıl içinde matematikçiler onun tahminini doğrulamışlardır. 
    
    Eğrilere teğet çizme probleminin belirlenmesi, onyedinci yüzyılın ilk yarısında da bulanık durumdaydı. Bununla ilgili Descartes ve Fermat basit düzeyde eğriler için birer yöntem vermişlerdi ancak verdikleri yöntemler genele uygulanabilecek türden değildi.
    
    Eğrilere teğet çizme problemi ve eğrilerin altındaki alanların bulunması probleminin çözümü tüm zamanların en iyi üç matematikçisinden biri olarak gösterilen Newton (1642-1677) tarafından yapılacaktı. Newton Cambridge'e 1661 de gelmiş ve vebadan kaçmak için ailesinin çiftliğinde kaldığı iki yıl içinde analizin temellerini atarak teğet bulma ile alan arasında ters bir ilişkinin olduğu farkına varmıştı. Fakat Newton o zamanlar çalışmalarını yayınlamamıştı, bu belki de, 1665'te Londra'daki büyük yangından sonra kitap ticaretindeki düşüş yüzündendi.  Yani Newton matematiğe en önemli katkılardan birini yapmış ancak çalışmasından kimseyi haberdar etmemişti.
    
    Newton'dan bağımsız olarak Alman matematikçi Leibniz de (1646,1716) analizi keşfetmişti. Matematiği ciddi bir hobi edinmiş bir avukat, diplomat ve filozof olan Leibniz, kendi çalışmalarını 1673-1676 yılları arasında oluşturmuştu.  Araştırmalarını Newton'un 1711'deki ilk yayınından çok daha önce 1684 ve 1686'da yayınlamıştı. gösterimleri, "diferansiyel", "analiz", "integral", "türev", "fonksiyon" gibi kavramların çoğunu Leibniz'e borçluyuz. 
    
    Görüldüğü gibi limit ve süreklilik kavramları matematiğe bir gecede girmedi.  Analiz'in bugünkü duruma ve etkinliğe gelebilmesi için daha iki yüzyıl gerekliydi. 1820'lere gelinmesine rağmen henüz yeterli bir "limit" tanımı dahi yapılamamıştı. Bu kavram için verilen tanımlardan hiç biri tam tanımlamayı yapamıyordu. 1820 de Cauchy (1789-1857), "limit" ve "süreklilik" tanımını yapıverdi.  Aynı zamanda belirli integralin bir tanımını da vermiş ve bu Riemann'ın (1826-1866) 1854'te yapmış olduğu küçük bir değişiklikle bugünkü standart haline ulaşmıştır.  Bu yine analizdeki en önemli dönüm noktalarından biriydi.  Çünkü bu zamana kadar yapılanlar sağlam temellere oturtulmuş oluyordu.  Ancak yine de son yüzyılda bile matematikçiler bu temel kavramları tam olarak anlayamıyorlardı. Şu an ders kitaplarındaki tanım, Alman matematikçi Weierstrass tarafından ondokuzuncu yüzyılın ortalarında yapılmıştır. Bu tanım sayesinde herkesin bu kavramları rahat bir şekilde anlaması sağlanmıştır. 
    
    Ondokuzuncu yüzyılın ikinci yarısındaki temel sorulardan biri her fonksiyonun integralinin alınıp alınamayacağı idi. 1883'te Liouville (1809-1882) her fonksiyonun integralinin alınamayacağını ispatladı. Yine 1850' lerdeki temel problemlerden bazıları "alanla ne demek istiyoruz" gibi bazı temel sorulardı. Örneğin, belirli bir kare içine yerleştirilmiş ve tüm koordinatları rasyonel olan noktalar kümesinin bir alanı var mıydı? Eğer varsa bu alan nedir? 1887 kadar yakın bir geçmişte, Peano (1858-1932), alanın duyarlı bir tanımını veren kişi olmuştu.  Peano'dan önceki matematikçiler "alan" kavramını sezgisel olarak ele almışlardı. 
    
    Yirminci yüzyıl, analiz'in bir çok yeni alanda uygulanmasına sahne olmuştur.  Bu yüzyılda matematikçiler analize ait en derin teorik sonuçları elde ettiler ve bunun bir sonucu olarak Fizik'te de olağanüstü gelişmeler oldu.  Çünkü Fizikteki problemlerin çözümleri analizde yatmakta idi.  Yine yirminci yüzyılda Analiz teknolojinin bir çok alanına uyarlandı ve denilebilir ki şu an erişilen teknoloji varlığını analize borçludur. Analiz hala bütün canlılığı ile büyümektedir ve her yıl yüzlerce matematikçi analize yayınladıkları binlerce makale ile katkıda bulunmaktadırlar. 
    
    
    
    Okunuşlar:
    Descartes "Dekart"
    Fermat "Ferma"
    Newton "Nivton"
    Leibniz "Laybnits"
    Cauchy "Koşi"
    Rieman "Riman" 
    Weierstrass "Vayştraz"
    Liouville "Liyuvil"
    Peano "Peyano"

*Sherman K. Stein ve Anthony Barcellos'un yazdığı, Beno Kuryel ve  Firuz Balkan'ın Türkçeye çevirdiği Calculus ve Analitik Geometri,  adlı güzel kitaptan alınmıştır.