Analiz Niçin Bulunmuştur?
Analiz ilk olarak analtıncı ve onyedinci yüzyıl matematikçilerinin temelde mekanikteki gereksinimlerini karşılamak üzere icat edilmiştir. Analiz, insanların eğrilerin eğimlerini tanımlamasını, hareket eden cisimlerin hızlarını ve ivmelerini hesaplamasını, toplara en fazla erişimi sağlayacak ateşleme açılarını bulmasını ve gezegenlerin ne zaman birbirine en yakın veya en uzak konumda olacaklarını tahmin etmelerini sağladı. İnsanların bir cismin gelecekteki konumunu şu andaki konumundan ve üzerine etki eden kuvvetler hakkında bilinenlerden hesaplamasını, bir yerin nüfusunun gelecekte ne olacağını, bir ortamdaki bakteri sayısının bir süre sonra ne olacağını, düzlemde düzgün olmayan şekillerin alanlarının nasıl bulunacağını, eğrilerin uzunluklarının ne olduğunu, her hangi bir cismin alanını, hacmini ve ağırlık merkezini bulmasını sağladı. Kısaca analiz insanın evrende olup biten olayların hangi kurallarla olduğunu, belki de bir anlamda olayların şifrelerini insanların açıklamalarını sağladı. Buna göre, matematiğin dolayısıyla analizin evrende olmadığı veya kullanılmadığı yer yoktur. Analiz, günümüzde Fizik, Mühendislik, Astronomi, Kimya, Tıp, Ulaşım, Gıda gibi hemen her alanda kullanılmaktadır.
Limit, Süreklilik, Türev, İntegral Nedir?
Limit, değeri belirli bir sayıya yaklaşırken, bir fonksiyonun değerinin yaklaştığı değerdir. Süreklilik, fonksiyonun bu yaklaşım anında kesintiye uğramamasıdır. Türev bir eğrinin teğetlerinin eğimlerinin yaklaştığı değer, integral ise bir eğrinin altında kalan alandır. Türev bir nokta için bilgi verir yani yereldir. İntegral ise türevin tersine bir noktada değil bir bölgedeki değişim hakkında bize bilgi verir. Buna göre, teğet demek türev, alan demek ise integraldir.
Analiz Nasıl Bulundu? Analiz'e Kimlerin Katkısı Oldu?
Analiz'in kökeni 2000'i aşkın yıl öncesine, Yunanlıların alan ve teğetlerle çalışmalarına kadar gider. Arşimet (İ.Ö. 287-212) bir parabolün kesitine denk gelen alanı bulmuştur. Aynı zamanda, bir elipsin alanını ve bir kürenin yüzey alanını ve hacmini de bulmuştur. Apollonius (İ.Ö. 260-200) elipslere, parabollere ve hiperbollere olan teğetler hakkında yazmış ve Arşimet, sarmal biçimli bir eğriye olan teğetleri tartışmıştı. Onlar "alan" ve "teğet"in bir çok yüzyıl sonra bir araya geleceğini pek beklememişlerdi.
Varlığını bin yılda uzun sürdüren Plato Akademisinin İ.S. 529'da İmparator Justinian tarafından kapatılmasıyla Yunan dünyası çökmüş bu çöküşten sonra, Yunan Matematikçilerinin mirasını Arap dünyası korumuştur. Kendi liberal atmosferlerinde Arap, Hristiyan ve Yahudi araştırmacılar birlikte çalışarak eski yazmaları çevirerek yorumlamışlar ve fırsatını bulunca da kendi katkılarını koymuşlardır. Örneğin Alhazen (İ.S. 965-1039) belirli cisimlerin hacimlerini hesaplamıştı.
Birkaç düşüncenin bir araya gelerek analiz'i oluşturması onyedinci yüzyıldan önce olmamıştır. 1637'de Descartes (1596-1650) ve Fermat (1601-1665) analitik geometriyi kurmuşlardır. Descartes, verilen bir eğriyi cebirin yardımıyla incelerken, Fermat ters yoldan giderek verilen bir denklemden yola çıkarak bu denklemdeki geometriyi açığa çıkarmıştır.
Aynı dönemde Cavalieri (1598-1647) için eğrisinin altındaki alanı, üs arttıkça hesaplamaların uzunluğu da artarak hesaplamıştı. Hesaplamalarından sonra da bu şekilde devam edeceğini tahmin etmişti. Ondan sonraki 20 yıl içinde matematikçiler onun tahminini doğrulamışlardır.
Eğrilere teğet çizme probleminin belirlenmesi, onyedinci yüzyılın ilk yarısında da bulanık durumdaydı. Bununla ilgili Descartes ve Fermat basit düzeyde eğriler için birer yöntem vermişlerdi ancak verdikleri yöntemler genele uygulanabilecek türden değildi.
Eğrilere teğet çizme problemi ve eğrilerin altındaki alanların bulunması probleminin çözümü tüm zamanların en iyi üç matematikçisinden biri olarak gösterilen Newton (1642-1677) tarafından yapılacaktı. Newton Cambridge'e 1661 de gelmiş ve vebadan kaçmak için ailesinin çiftliğinde kaldığı iki yıl içinde analizin temellerini atarak teğet bulma ile alan arasında ters bir ilişkinin olduğu farkına varmıştı. Fakat Newton o zamanlar çalışmalarını yayınlamamıştı, bu belki de, 1665'te Londra'daki büyük yangından sonra kitap ticaretindeki düşüş yüzündendi. Yani Newton matematiğe en önemli katkılardan birini yapmış ancak çalışmasından kimseyi haberdar etmemişti.
Newton'dan bağımsız olarak Alman matematikçi Leibniz de (1646,1716) analizi keşfetmişti. Matematiği ciddi bir hobi edinmiş bir avukat, diplomat ve filozof olan Leibniz, kendi çalışmalarını 1673-1676 yılları arasında oluşturmuştu. Araştırmalarını Newton'un 1711'deki ilk yayınından çok daha önce 1684 ve 1686'da yayınlamıştı. gösterimleri, "diferansiyel", "analiz", "integral", "türev", "fonksiyon" gibi kavramların çoğunu Leibniz'e borçluyuz.
Görüldüğü gibi limit ve süreklilik kavramları matematiğe bir gecede girmedi. Analiz'in bugünkü duruma ve etkinliğe gelebilmesi için daha iki yüzyıl gerekliydi. 1820'lere gelinmesine rağmen henüz yeterli bir "limit" tanımı dahi yapılamamıştı. Bu kavram için verilen tanımlardan hiç biri tam tanımlamayı yapamıyordu. 1820 de Cauchy (1789-1857), "limit" ve "süreklilik" tanımını yapıverdi. Aynı zamanda belirli integralin bir tanımını da vermiş ve bu Riemann'ın (1826-1866) 1854'te yapmış olduğu küçük bir değişiklikle bugünkü standart haline ulaşmıştır. Bu yine analizdeki en önemli dönüm noktalarından biriydi. Çünkü bu zamana kadar yapılanlar sağlam temellere oturtulmuş oluyordu. Ancak yine de son yüzyılda bile matematikçiler bu temel kavramları tam olarak anlayamıyorlardı. Şu an ders kitaplarındaki tanım, Alman matematikçi Weierstrass tarafından ondokuzuncu yüzyılın ortalarında yapılmıştır. Bu tanım sayesinde herkesin bu kavramları rahat bir şekilde anlaması sağlanmıştır.
Ondokuzuncu yüzyılın ikinci yarısındaki temel sorulardan biri her fonksiyonun integralinin alınıp alınamayacağı idi. 1883'te Liouville (1809-1882) her fonksiyonun integralinin alınamayacağını ispatladı. Yine 1850' lerdeki temel problemlerden bazıları "alanla ne demek istiyoruz" gibi bazı temel sorulardı. Örneğin, belirli bir kare içine yerleştirilmiş ve tüm koordinatları rasyonel olan noktalar kümesinin bir alanı var mıydı? Eğer varsa bu alan nedir? 1887 kadar yakın bir geçmişte, Peano (1858-1932), alanın duyarlı bir tanımını veren kişi olmuştu. Peano'dan önceki matematikçiler "alan" kavramını sezgisel olarak ele almışlardı.
Yirminci yüzyıl, analiz'in bir çok yeni alanda uygulanmasına sahne olmuştur. Bu yüzyılda matematikçiler analize ait en derin teorik sonuçları elde ettiler ve bunun bir sonucu olarak Fizik'te de olağanüstü gelişmeler oldu. Çünkü Fizikteki problemlerin çözümleri analizde yatmakta idi. Yine yirminci yüzyılda Analiz teknolojinin bir çok alanına uyarlandı ve denilebilir ki şu an erişilen teknoloji varlığını analize borçludur. Analiz hala bütün canlılığı ile büyümektedir ve her yıl yüzlerce matematikçi analize yayınladıkları binlerce makale ile katkıda bulunmaktadırlar.
Okunuşlar:
Descartes "Dekart"
Fermat "Ferma"
Newton "Nivton"
Leibniz "Laybnits"
Cauchy "Koşi"
Rieman "Riman"
Weierstrass "Vayştraz"
Liouville "Liyuvil"
Peano "Peyano"
*Sherman K. Stein ve Anthony Barcellos'un yazdığı, Beno Kuryel ve Firuz Balkan'ın Türkçeye çevirdiği Calculus ve Analitik Geometri, adlı güzel kitaptan alınmıştır.
